多层线性模型SPSS教程附视频教程

本教程将引导您逐步了解如何使用多层线性模型（Hierarchical Linear Modeling, HLM），也称为混合效应模型或多水平模型，来分析嵌套数据。我们将基于Heck et al. (2014) 第3章的示例进行讲解，该示例探讨了学生数学成绩与学生和学校层面的因素之间的关系。本教程假设您具备基本的统计学知识，并且熟悉SPSS软件的操作。

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1. 引言：为什么需要多层线性模型？

在教育研究、心理学、社会科学等领域，我们经常遇到嵌套数据。例如，学生嵌套在班级中，班级嵌套在学校中，学校嵌套在学区中。在这种情况下，简单地将所有数据视为独立个体进行分析可能会导致以下问题：

• 违反独立性假设：同一学校的学生之间可能存在相关性，而简单线性回归假设个体之间相互独立。
• 标准误估计不准确：忽略数据的层次结构会导致标准误估计偏小，从而增加I类错误的概率（错误地拒绝零假设）。
• 无法解释组间差异：简单线性回归无法解释不同学校之间的差异，而这些差异可能受到学校层面的因素的影响。

多层线性模型能够有效地解决上述问题。它通过明确地对数据的层次结构进行建模，考虑了组内和组间的变异，从而得到更准确和更全面的分析结果。

2. 示例数据描述

本教程使用的示例数据集包含6871名学生，他们嵌套在419所学校中。数据集中的变量包括：

• **Level 1 (学生层面)**：
  • Schcode: 学校代码。
  • Rid: 学生在给定学校内的ID。
  • ID: 学生在所有学校中的唯一ID。
  • Female: 性别 (0=男性, 1=女性)。
  • SES: 学生社会经济地位。
  • Math: 数学成绩（连续变量）。
• **Level 2 (学校层面)**：
  • SES_mean: 学校平均社会经济地位。
  • Prop47yrc: 学校中计划上四年制大学的学生比例。
  • Public: 学校类型 (1=公立, 0=其他，如私立)。

我们的目标是回答以下问题：

1. 学生数学成绩是否在不同学校之间存在差异？
2. 学生社会经济地位 (SES) 与数学成绩之间是否存在关系？
3. SES对数学成绩的影响在学校层面是否会“增强”？其他学校层面的组成因素是否也能预测学生成绩？
4. 学生SES与数学成绩的关系斜率在不同学校之间是否不同？如果存在差异，学校层面的环境因素能否解释这些斜率的变异？

3. 单层回归分析：一个不恰当的开始

在开始多层建模之前，让我们先尝试使用单层回归来分析数据，以了解其局限性。我们将建立一个简单的线性回归模型，预测学生数学成绩，仅使用学生SES作为预测变量。

模型:

Math_i = b0 + b1 * SES_i + e_i

其中:

• Math_i是学生i的数学成绩。
• SES_i是学生i的社会经济地位。
• b0是截距。
• b1是SES的回归系数。
• e_i是残差。

在SPSS中，使用“分析” -> “回归” -> “线性”进行分析。将Math作为因变量，SES作为自变量。

结果解释:

根据PPT中的结果：

• R平方=0.143，表明SES解释了数学成绩14.3%的变异，模型整体显著 (F(1, 6869) = 1146.382, p < .001)。
• SES是一个显著的正向预测因子 (b = 4.255, s.e. = 0.126, p < .001)。这意味着，学生的社会经济地位越高，数学成绩也越高。

预测方程：

Math_i = b0 + 4.255 * SES_i (其中b0为截距值)

单层回归的局限性：

虽然这个模型表明SES与数学成绩之间存在显著关系，但它存在一些关键问题：

1. 忽略了学校的影响: 模型假设所有学校的学生都是一样的，忽略了学校可能对学生成绩产生的影响。
2. 固定效应假设: 模型将截距和斜率视为固定参数，即对所有学校都是一样的，这可能并不现实。

下图说明了不同学校的学生SES和数学成绩之间的关系可能不同，截距和斜率可能存在变异。

4. 多层线性模型建模步骤

Heck et al. (2014) 推荐的多层模型建模步骤如下：

1. 步骤1：建立和检验零模型 (Null Model): 评估学校层面是否存在显著的变异。
2. 步骤2：建立和检验Level 1模型: 加入学生层面的预测变量 (例如，SES)。
3. 步骤3：建立和检验Level 2模型: 加入学校层面的预测变量 (例如，学校平均SES)。
4. 步骤4：建立和检验随机斜率模型（可选）: 允许学生层面的预测变量的斜率在学校层面变异。

4.1 步骤1：建立和检验零模型 (Null Model)

零模型，也称为方差分解模型或随机截距模型，不包含任何预测变量。其目的是确定因变量（本例中为数学成绩）在不同学校之间是否存在显著的变异。

模型公式：

• **Level 1 (学生层面)**： Math_ij = b0j + e_ij
• **Level 2 (学校层面)**： b0j = g00 + u0j

其中：

• Math_ij是学校j中学生i的数学成绩。
• b0j是学校j的平均数学成绩 (截距)。
• e_ij是学生层面的随机误差项，假设服从均值为0，方差为σ²的分布。
• g00是所有学校的平均数学成绩 (总体平均数)。
• u0j是学校层面的随机效应，表示学校j的平均数学成绩与总体平均数之间的差异，假设服从均值为0，方差为τ²的分布。

混合模型公式：

Math_ij = g00 + u0j + e_ij

在SPSS中进行分析：

1. 选择 “分析” -> “混合模型” -> “线性…”.

2. 在弹出的窗口中，选择 ID 作为“主体”变量，Schcode 作为“重复测量”变量。主体变量指的是最低层级的个体ID，而重复测量是更高层级的ID。
   注意: Schcode实际上不是重复测量，但是SPSS需要一个重复测量变量才能运行混合模型，在这里将level 2的学校code放入这个位置。

   

3. 点击 “继续”。

4. 在下一个窗口中，将 Math 移到“因变量”框中。

   

5. 点击 “固定…” 按钮，确保“截距”在模型中，且没有其他变量。

   

6. 点击 “随机…” 按钮，将 Schcode 移到 “组合” 框中。这指定了随机效应的水平。确保“包含截距”已选中。

   

   

7. 点击 “估计” 按钮，将估计方法从 “REML” 改为 “ML”，因为我们要进行模型比较。

   

8. 点击 “统计…” 按钮，选择 “参数估计”，“协方差参数的检验” 和 “随机效应的协方差”。

   

9. 点击 “确定” 运行模型。

结果解释：

SPSS输出的结果将包含以下关键信息：

• 固定效应的估计值：g00，即所有学校的平均数学成绩。
• 随机效应的方差估计：σ² (Level 1残差方差) 和 τ² (Level 2截距方差，即学校间变异)。
• 协方差参数的检验：检验τ²是否显著大于0。
• -2对数似然值 (-2LL): 用于模型比较。

如果τ²的检验结果显著 (p < 0.05)，则表明学校之间的数学成绩存在显著差异。这意味着，解释学生数学成绩不仅仅需要考虑学生层面的因素，还需要考虑学校层面的因素。

计算组内相关系数 (ICC)：

组内相关系数（Intraclass Correlation Coefficient, ICC）用于衡量观测值在组内的聚集程度。它表示总方差中，组间方差所占的比例。

ICC = τ² / (τ² + σ²)

在本例中，ICC表示学生数学成绩的总变异中，有多少比例是由学校差异造成的。

根据PPT，ICC = 6.515 / (6.515 + 40.679) = 0.138， 意味着大约13.8%的数学成绩差异存在于学校之间。 通常，ICC值大于0.05被认为是重要的集群效应的指标。

结论：

如果 ICC 显著大于 0，说明学生数学成绩在学校层面存在显著的集群效应，这表明使用多层模型是合适的。

4.2 步骤2：建立和检验Level 1模型

在步骤2中，我们将在Level 1模型中加入学生层面的预测变量，以解释学生数学成绩的个体差异。在本例中，我们将加入学生社会经济地位 (SES) 作为预测变量。

模型公式：

• **Level 1 (学生层面)**： Math_ij = b0j + b1 * SES_ij + e_ij
• **Level 2 (学校层面)**： b0j = g00 + u0j

其中：

• Math_ij是学校j中学生i的数学成绩。
• SES_ij是学校j中学生i的社会经济地位。
• b0j是学校j的平均数学成绩 (截距)。
• b1是SES的回归系数，假设在所有学校中都是相同的（固定斜率）。
• e_ij是学生层面的随机误差项。
• g00是所有学校的平均数学成绩 (总体平均数)。
• u0j是学校层面的随机效应。

在SPSS中进行分析：

1. 打开步骤1中的模型分析界面（如果关闭了SPSS，需要重新按照步骤1操作至第四步）。

2. 将 SES 移到 “协变量” 框中。

   

3. 点击 “固定…” 按钮，确保“截距”和SES都在模型中。

   

4. 点击 “确定” 运行模型。

结果解释：

SPSS输出的结果将包含以下关键信息：

• 固定效应的估计值：g00 (总体平均数)，b1 (SES的回归系数)。
• 随机效应的方差估计：σ² (Level 1残差方差) 和 τ² (Level 2截距方差)。
• -2对数似然值 (-2LL): 用于模型比较。

模型比较：

为了确定加入SES是否显著提高了模型的拟合度，我们需要将步骤2的模型与步骤1的零模型进行比较。这可以通过似然比检验（Likelihood Ratio Test）来完成。似然比检验的统计量为：

χ² = -2LL(Model 1) - (-2LL(Model 2))

其中，Model 1是零模型，Model 2是加入了SES的Level 1模型。该统计量服从自由度为模型参数差异数的卡方分布。

如果似然比检验结果显著 (p < 0.05)，则表明加入SES显著提高了模型的拟合度。

伪R平方（Pseudo-R-squared）：

伪R平方用于衡量加入SES后，模型解释的Level 1变异的增加比例。其计算公式为：

Pseudo-R-squared = (σ²(Model 1) - σ²(Model 2)) / σ²(Model 1)

根据PPT内容，伪R平方为 (40.679-38.343)/40.679 = 0.057 表明加入 SES 解释了 5.7% 的学校内部的变异。

结论：

如果似然比检验结果显著，且SES的回归系数显著，则表明学生社会经济地位是学生数学成绩的重要预测因素。

4.3 步骤3：建立和检验Level 2模型

在步骤3中，我们将在模型中加入学校层面的预测变量，以解释学校之间的平均数学成绩的差异。在本例中，我们将加入学校平均SES (SES_mean)、学校中计划上四年制大学的学生比例 (Prop47yrc) 和学校类型 (Public) 作为预测变量。

模型公式：

• **Level 1 (学生层面)**： Math_ij = b0j + b1 * SES_ij + e_ij
• **Level 2 (学校层面)**： b0j = g00 + g01 * SES_mean_j + g02 * Prop47yrc_j + g03 * Public_j + u0j

其中：

• Math_ij是学校j中学生i的数学成绩。
• SES_ij是学校j中学生i的社会经济地位。
• b0j是学校j的平均数学成绩 (截距)。
• b1是SES的回归系数，假设在所有学校中都是相同的（固定斜率）。
• e_ij是学生层面的随机误差项。
• g00是所有学校的平均数学成绩 (总体平均数)。
• SES_mean_j是学校j的平均社会经济地位。
• Prop47yrc_j是学校j中计划上四年制大学的学生比例。
• Public_j是学校j的类型 (1=公立, 0=其他)。
• g01, g02, g03 是对应的回归系数。
• u0j是学校层面的随机效应。

在SPSS中进行分析：

1. 打开步骤2中的模型分析界面。

2. 将 SES_mean、Prop47yrc 和 Public 移到 “协变量” 框中。

   

3. 点击 “固定…” 按钮，确保“截距”, SES, SES_mean, Prop47yrc 和 Public 都在模型中。

   

4. 点击 “确定” 运行模型。

结果解释：

SPSS输出的结果将包含以下关键信息：

• 固定效应的估计值：g00, b1, g01, g02, g03.
• 随机效应的方差估计：σ² (Level 1残差方差) 和 τ² (Level 2截距方差)。
• -2对数似然值 (-2LL): 用于模型比较。

模型比较：

将步骤3的模型与步骤2的模型进行比较，使用似然比检验判断加入Level 2预测变量是否显著提高了模型的拟合度。

结果分析：

根据PPT内容，在Level 1，SES是一个显著正向预测因子 (b = 3.19, s.e. = 0.16, p < .001)。在Level 2，学校平均SES (b = 2.47, s.e. = 0.31, p < .001) 和计划上四年制大学的学生比例 (b = 1.42, s.e. = 0.47, p < .001) 也是显著正向预测因子。学校类型 (b = -0.16, s.e. = 0.27, p = .549) 不是显著预测因子。

结论：

如果似然比检验结果显著，且Level 2预测变量的回归系数显著，则表明学校层面的因素对学生数学成绩存在显著影响。

4.4 步骤4：建立和检验随机斜率模型

在之前的模型中，我们假设学生SES对数学成绩的影响在所有学校中都是相同的（固定斜率）。然而，实际情况可能并非如此。例如，在某些学校，SES对学生成绩的影响可能更大。为了检验这种可能性，我们需要建立一个随机斜率模型，允许学生SES的斜率在不同学校之间变异。

模型公式：

• **Level 1 (学生层面)**： Math_ij = b0j + b1j * SES_ij + e_ij
• **Level 2 (学校层面)**：
  • b0j = g00 + g01 * SES_mean_j + g02 * Prop47yrc_j + g03 * Public_j + u0j
  • b1j = g10 + u1j

其中：

• b1j是学校j中SES的回归系数。
• g10是所有学校中SES回归系数的平均值。
• u1j是学校层面的随机效应，表示学校j的SES回归系数与总体平均值之间的差异，假设服从均值为0，方差为τ1²的分布。
• 其他变量的含义与之前相同。

在SPSS中进行分析：

1. 打开步骤3中的模型分析界面。

2. 点击 “随机…” 按钮。

3. 将 SES 移到 “模型” 框中，这指定了SES的斜率可以随机变异。

   

4. 点击 “继续” 并运行模型。

结果解释：

SPSS输出的结果将包含以下关键信息：

• 固定效应的估计值：g00, g01, g02, g03, g10.
• 随机效应的方差估计：σ², τ² (截距方差) 和 τ1² (SES斜率方差)。
• -2对数似然值 (-2LL): 用于模型比较。

关键在于检查τ1²是否显著大于0。如果检验结果显著 (p < 0.05)，则表明SES的斜率在不同学校之间存在显著差异。

进一步分析：跨层次交互作用

如果发现SES的斜率在学校层面存在显著差异，我们可以进一步分析学校层面的哪些因素能够解释这种差异。例如，我们可以检验学校平均SES是否会影响SES对学生成绩的影响。这可以通过添加跨层次交互作用项来实现。

添加跨层次交互项：

1. 在步骤4的基础上，在”固定…”对话框中，添加交互项SES*SES_mean, SES*Prop47yrc, SES*Public。 这些项代表学生SES与学校层面变量的交互作用。
2. 再次运行模型。

根据PPT中内容，只有SES*Public是显著的交互项，说明学生层面的SES对数学成绩的影响受到学校类型的影响。

我们可以绘制简单斜率图来可视化这种交互作用。

绘制简单斜率图

1. 使用PPT提供的Excel计算器计算不同学校类型（公立/私立）下，不同SES水平（低、中、高）的预测数学成绩。这需要SES的均值和标准差，以及模型估计的系数。
2. 使用计算结果在Excel中绘制图表。

结果显示，SES与数学成绩的关系在不同类型的学校中略有不同。

其他交互作用的探索

虽然SES*Prop47yrc, SES*SES_mean的交互项不显著，但也可以绘制相应的图表进行探索。

加入性别变量

最后，PPT还演示了加入性别变量（Female）作为 Level 1 预测变量，并允许其斜率在学校间随机变化，并检验 Female 与 School Type (Public) 的跨层次交互作用。结果发现，Female 与 School Type 存在显著的交互作用。

使用类似的步骤，可以绘制简单斜率图来可视化这种交互作用。

5. 总结

本教程通过一个具体的例子，详细介绍了如何使用多层线性模型分析嵌套数据。我们从简单的零模型开始，逐步加入了学生层面和学校层面的预测变量，并最终建立了随机斜率模型。通过模型比较和结果解释，我们能够更深入地了解学生数学成绩的影响因素，并探索不同学校之间的差异。

希望本教程能够帮助您掌握多层线性模型的基本原理和应用方法。请记住，多层模型是一种非常强大的工具，可以应用于各种领域的研究。

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